二项式定理

通项公式：

$$
(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}\operatorname{C}^{n}_{i}x^{n-i}y^{i}\ \ (i \isin {x \isin \Z\ | \ 0 \le x \le n})
$$

矩阵形式：

$$
(a+b)^n

=

\begin{bmatrix}
a^0 & a^1 & a^2 & \dots & a^n
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\operatorname{C}{n}^{0}\
& \operatorname{C}{n}^{1}\
& & \operatorname{C}{n}^{2}\
& & & .\
& & & & .\
& & & & & .\
& & & & & & \operatorname{C}{n}^{n}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
& & & & & & 1\
& & & & & .\
& & & & .\
& & & .\
& & 1\
& 1\
1
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
b^0 \ b^1 \ b^2 \ b^3 \ b^4 \ \dots \ b^n
\end{bmatrix}
$$

验证推导：

在 $n=1$ 时，显然成立。

假设二项展开式在 $n=m$ 时成立。

设 $n=m+1$，则有：

$$
(a+b)^{m+1}

\

=(a+b)(a+b)^m
$$

$$
=a(a+b)^m+b(a+b)^m
$$

$$
=a\sum_{k=0}^{m}\operatorname{C}k^ma^{m-k}b^k+b\sum{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j}
$$

$$
=\sum_{k=0}^{m}\operatorname{C}k^ma^{m-k+1}b^k+\sum{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j+1}
$$

$$
=a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}k^ma^{m-k+1}b^k+\sum{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j+1}
$$

$$
=a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}k^ma^{m-k+1}b^k+\sum{k=1}^{m+1}\operatorname{C}_{k-1}^ma^{m-k+1}b^k
$$

$$
=a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}k^ma^{m-k+1}b^k+\sum{k=1}^m\operatorname{C}_{k-1}^ma^{m-k+1}b^k+b^{m+1}
$$

$$
=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}(\operatorname{C}k^m+\operatorname{C}{k-1}^m)a^{m-k+1}b^k
$$

$$
=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^{m+1}a^{m-k+1}b^k
$$

$$
=\sum_{k=0}^{m+1}\operatorname{C}_k^{m+1}a^{m-k+1}b^k
$$