二项式定理

通项公式：

$$(x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}\operatorname{C}^{n}_{i}x^{n-i}y^{i}\ \ (i \isin \{x \isin \Z\ | \ 0 \le x \le n\})$$

矩阵形式：

$$(a+b)^n = \begin{bmatrix} a^0 & a^1 & a^2 & \dots & a^n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \operatorname{C}_{n}^{0}\\ & \operatorname{C}_{n}^{1}\\ & & \operatorname{C}_{n}^{2}\\ & & & .\\ & & & & .\\ & & & & & .\\ & & & & & & \operatorname{C}_{n}^{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} & & & & & & 1\\ & & & & & .\\ & & & & .\\ & & & .\\ & & 1\\ & 1\\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b^0 \\ b^1 \\ b^2 \\ b^3 \\ b^4 \\ \dots \\ b^n \end{bmatrix}$$

验证推导：

在 $n=1$ 时，显然成立。

假设二项展开式在 $n=m$ 时成立。

设 $n=m+1$，则有：

$$(a+b)^{m+1} \\ =(a+b)(a+b)^m$$

$$=a(a+b)^m+b(a+b)^m$$

$$=a\sum_{k=0}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k}b^k+b\sum_{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j}$$

$$=\sum_{k=0}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k+1}b^k+\sum_{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j+1}$$

$$=a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k+1}b^k+\sum_{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j+1}$$

$$=a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k+1}b^k+\sum_{k=1}^{m+1}\operatorname{C}_{k-1}^ma^{m-k+1}b^k$$

$$=a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k+1}b^k+\sum_{k=1}^m\operatorname{C}_{k-1}^ma^{m-k+1}b^k+b^{m+1}$$

$$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}(\operatorname{C}_k^m+\operatorname{C}_{k-1}^m)a^{m-k+1}b^k$$

$$=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^{m+1}a^{m-k+1}b^k$$

$$=\sum_{k=0}^{m+1}\operatorname{C}_k^{m+1}a^{m-k+1}b^k$$