二项式定理

通项公式：

$$ (x+y)^n=\sum_{i=0}^{n}\operatorname{C}^{n}_{i}x^{n-i}y^{i}\ \ (i \isin \{x \isin \Z\ | \ 0 \le x \le n\}) $$

矩阵形式：

$$ (a+b)^n

=

$$

验证推导：

在 n = 1 时，显然成立。

假设二项展开式在 n = m 时成立。

设 n = m + 1，则有：

$$ (a+b)^{m+1}

\

=(a+b)(a+b)^m $$

 = a(a + b)^m + b(a + b)^m

$$ =a\sum_{k=0}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k}b^k+b\sum_{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j} $$

$$ =\sum_{k=0}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k+1}b^k+\sum_{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j+1} $$

$$ =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k+1}b^k+\sum_{j=0}^m\operatorname{C}_j^ma^{m-j}b^{j+1} $$

$$ =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k+1}b^k+\sum_{k=1}^{m+1}\operatorname{C}_{k-1}^ma^{m-k+1}b^k $$

$$ =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^ma^{m-k+1}b^k+\sum_{k=1}^m\operatorname{C}_{k-1}^ma^{m-k+1}b^k+b^{m+1} $$

$$ =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}(\operatorname{C}_k^m+\operatorname{C}_{k-1}^m)a^{m-k+1}b^k $$

$$ =a^{m+1}+b^{m+1}+\sum_{k=1}^{m}\operatorname{C}_k^{m+1}a^{m-k+1}b^k $$

$$ =\sum_{k=0}^{m+1}\operatorname{C}_k^{m+1}a^{m-k+1}b^k $$